Главная | Карта сайта
Ресурсы
Услуги
Услуги
Реклама
Дополнительные услуги

Модель Блэка-Шоулса

Математический аппарат теории опционов активно разрабатывался с 1973 г., когда открылась Чикагская биржа опционов, а Ф.Блэк и М.Шоулс вывели формулу для расчета цены европейского опциона на покупку акции:


где:
S0 – текущая биржевая цена акций;
N (d) – интеграл плотности нормального распределения (d);
X – цена исполнения опциона;
r – безрисковая ставка процента;
T – время до истечения опциона;





- изменчивость цены акций (stock volatility).

Весь математический аппарат теории опционов, как и программное обеспечение к нему изначально разрабатывались именно для финансовых опционов, причем европейских, а не американских. Корректный перенос этого аппарата на реальные опционы как минимум сложен, а часто вообще невозможен.

К тому же, исполнение реальных опционов часто растянуто во времени и связано со значительными затратами сил и средств, а истечение срока опциона происходит не в заранее заданный момент времени, а в некотором интервале. Чаще всего неизвестно распределение случайных величин и т.д.

Нормальность распределения доходности — это основное предположение, принятое в модели Блэка-Шоулса. Кроме этого, модель использует еще ряд предположений, а именно:

  • основные активы свободно продаются и покупаются, в том числе в дробных долях,
  • допускается “короткая” продажа (продажа без покрытия) основных активов, при этом продавец может пускать олученную наличность в оборот,
  • никаких дивидендов или иных выплат по основным активам до исполнения опциона не предусматривается,
  • допускается привлечение и размещение наличности по той же самой безрисковой процентной ставке (с непрерывным накоплением процентов),
  • опцион относится к европейскому типу, и до дня погашения исполнен быть не может,
  • налоги, расходы на совершение сделок и выплаты маржи отсутствуют,
  • цена основной бумаги с ходом времени меняется непрерывно (без скачков),
  • характер изменчивости цены основной бумаги, а также процентная ставка в течение срока действия опциона остаются постоянными.

На практике далеко не все из этих предположений в точности выполняются, но для учета таких отклонений в основную модель можно вводить поправки (часто совсем простые).

Например, если рассмотреть валютный опцион, то его основной актив — иностранная валюта — может приносить доход: проценты с валютного депозита. Чтобы оценить такой опцион, стандартную формулу Блэка-Шоулса нужно видоизменить следующим образом:


где:
S -- текущий обменный спот-курс,
r -- непрерывно начисляемая сложная процентная ставка в валюте, являющейся предметом опциона,
j – непрерывно начисляемая сложная процентная ставка в валюте, в которой определена цена опциона,



это — так называемая модель Гармана-Кольхагена для валютных опционов.

Большими достоинствами модели Блэка-Шоулса являются простота формул и то, что она дает естественный и непротиворечивый метод оценивания. Поэтому модель была адаптирована к различным типам опционов, и в большинстве случаев практики предпочитают пользоваться моделью Блэка-Шоулса или ее модификациями, а не более сложными моделями.

Например, было обнаружено, что в реальном распределении цен его “хвосты”, т.е. вероятности появления значений, сильно отличающихся от среднего значения, больше, чем у логарифмически нормального распределения. Так происходит потому, что цены рынка время от времени испытывают скачки, и реальная вероятность того, что цена отклонится от среднего значения, например, на утроенное стандартное отклонение (стандартное отклонение логарифмически нормального распределения равно бесконечности, и поэтому в терминах стандартного отклонения следует измерять отклонения от среднего не самих ценовых отношений (или цен), а их логарифмов). немного больше той, что получается в соответствии с логарифмически нормальным распределением. Как рыночные оценщики, отвечающие за правильность оценивания опционов, поступают в этом случае? Вместо того, чтобы работать с моделями, явно учитывающими увеличение “хвостов” распределения цен, они все-таки пользуются моделью Блэка-Шоулса, но при оценивании выгодных и невыгодных опционов берут увеличенные показатели волатильности. В результате увеличивается отличие цен таких опционов от цен опционов, справедливых при погашении, что и соответствует увеличению вероятностей на “хвостах” распределения цен.

Для задачи оценивания пут-опционов не нужно разрабатывать отдельную модель, потому что цена колл-опциона неразрывно связана с ценой пут-опциона посредством соотношения, называемого теоремой пут-колл эквивалентности (паритета)[put-call parity theorem].

Чтобы понять ее суть, рассмотрим следующую последовательность сделок:

a) продать один колл-опцион со сроком t и ценой исполнения X,

b) купить один пут-опцион с теми же сроком и ценой исполнения,

c) купить основные активы,

d) занять наличность в размере Хе--rt, где г— непрерывно начисляемая сложная безрисковая процентная ставка.

Если начальная цена основных активов равна So, цена колл-опциона равна С, а цена пут-опциона равна Р, то совокупный поток наличности при совершении этих сделок составит:



При исполнении опционов, независимо от цены основных активов, нужно будет вернуть заем — это потребует выплаты X. Что произойдет затем, зависит от цены основных активов.

Рассмотрим сначала, случай St > X. Колл-опцион при исполнении будет выгодным, и продавец должен будет поставить основные активы по цене исполнения X. Полученная сумма как раз уйдет на погашение займа. Пут-опцион при исполнении обесценится. Чистый поток наличности, таким образом, равен нулю.

Теперь рассмотрим случай, когда St- < X. На этот раз колл-опцион при исполнении обесценится, а пут может быть предъявлен к исполнению. Его покупатель имеет право продать основные активы по цене исполнения X, которая как раз уйдет на погашение займа. Поток наличности опять свелся к нулю.

В том маловероятном случае, когда в день исполнения St = X, оба опциона обесцениваются. Основные активы могут быть в этот момент проданы по рыночной цене, равной X, и полученная сумма пойдет на погашение займа. Чистый результат — опять нулевой.

Иными словами, во всех случаях эта совокупность сделок приводит к нулевому чистому потоку наличности. Но если итоговая стоимость портфеля всегда равна нулю, то и его начальная стоимость тоже должна быть равна нулю. Если бы она была отрицательной, то существовала бы возможность извлечения прибыли без риска. Если бы она была положительной, то безрисковую прибыль принесла бы совокупность обратных сделок.

Это означает, что:

Следовательно,

Мы получили формулу, выражающую цену пут-опциона через цену колл-опциона. Поэтому специальная модель для определения цены пут-опциона не нужна.

Модель, разработанная профессорами Блэком и Шоулсом, явилась вехой в теории финансов. Она впервые дала надежное средство определения цен опционов на акции. Впоследствии были разработаны варианты, распространявшие ее формулы на многие другие типы опционов и основных активов.
Оценка экономической эффективности
Оценка экономической эффективности инвестиционных проектов с использованием реальных опционов
Использование опционов
Copyright © 2007-2018
Компания "БИТ-аудит" -
Разработка бизнес-планов